[פוסט זה התפרסם במקור בפייסבוק.]

חג שמח! היום היה החג המקראי הידוע “שמינית עצרת” (אוקי, אני יודע, במקור זה שמיני עצרת, אבל “שמיני עצרת” זה גם חסר משמעות מתמטית וגם, בואו נודה באמת, דקדוקית).

לרגל החג, חשבתי שאכתוב פוסט על האם אפשר לתת משמעות מתמטית לביטוי “שמינית עצרת”? ואם כן - כמה זה יוצא?

הפוסט דורש רקע בחדו"א (חדו"א 1 וחדו"א 2 אמורים להספיק).

חלק 1: מה זה עצרת, תזכיר לי?

עצרת היא פעולה מתמטית שלמדנו עליה מתישהו ביסודי. זו פעולה אונארית (כלומר, פעולה על מספר אחד, בניגוד למשל לפעולת הכפל שבה מכפילים שני מספרים), המסומנת בסימן קריאה.

למשל, הסימון ‪$4!$‬ מציין את פעולת העצרת על המספר 4, וקוראים את זה “ארבע עצרת”.

פעולת העצרת מוגדרת על המספרים הטבעיים על ידי מכפלת כל המספרים מ-1 עד המספר (ועבור אפס, בתור “המכפלה הריקה” שערכה פשוט 1; דרך אגב, בפוסט הזה, “מספרים טבעיים” כוללים את אפס).

במילים אחרות:

$$ ‪\begin{aligned} 1! &= 1‬ \\ ‪2! &= 1 \cdot 2 = 2‬ \\ ‪3! &= 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6‬ \\ & \vdots \end{aligned} $$

ומוסיפים גם $0! = 1$.

כדי לחשב את “שמינית עצרת”, אנחנו צריכים להרחיב או להכליל את מושג העצרת, כך שנוכל לחשב גם עצרת של מספרים לא שלמים. האם זה אפשרי? איך עושים את זה?

חלק 2: אז מה אנחנו מחפשים בדרכנו לשמינית עצרת?

בעצם, אנחנו מחפשים פונקציה, נקרא לה $f(x)$‬, שמוגדרת עבור מספרים ממשיים - אך בואו נקל על עצמנו, ונדרוש רק שתהיה מוגדרת עבור $x \ge 0$ - המקיימת:

$$ \begin{aligned} f(0) &= 0! \\ f(1) &= 1! \\ & \vdots \\ f(n) &= n! \end{aligned} $$

כלומר, פונקציה ממשית, “שמסכימה” עם העצרת בכל מספר טבעי, “ומשלימה” את ההגדרה שלה במספרים לא טבעיים.

חלק 3: רעיונות ראשונים

כמובן, יש המון דרכים שאפשר לחשוב עליהן איך עושים את ההשלמה הזו, ובכל דרך מקבלים פונקציה קצת אחרת. הנה כמה דרכים שטבעי לחשוב עליהן:

1. פונקציה שמעגלת למטה למספר טבעי ואז מחשבת עצרת:
   
2. פונקציה שמבצעת אינטרפולציה לינארית בין שתי העצרות הקרובות ביותר:
   
3. פונקציה שמבצעת אינטרפולציה ריבועית (quadratic spline) בין שתי העצרות הקרובות ביותר, כאשר בקטע הראשון מתחילים עם קו ישר ($y = 1$) ואחר כך מתקדמים ימינה כאשר בכל קטע חדש קובעים את הערך השמאלי, הערך הימני, והנגזרת בקצה השמאלי:
   

חלק 4: למה הרעיונות הראשונים לא טובים

האם אחת מהפונקציות הנ"ל ראויה להיות הפונקציה שמכלילה את העצרת לממשיים? אני חושב שלא, כי יש להן כמה בעיות:

1. הפונקציה הראשונה לא רציפה.

2. הפונקציה השנייה רציפה! אך היא לא גזירה.

3. הפונקציה השלישית רציפה וגזירה! אך היא לא גזירה פעמיים.

4. בכל הפונקציות, נדרשת נוסחה חדשה לכל קטע.

אנו מחפשים, אם כן, פונקציה כמה שיותר יפה ואלגנטית - אם אפשר לבקש, שתהיה לה נוסחה אחידה ולא חלוקה למקרים, ואם אפשר עוד לבקש, שתהיה גזירה אינסוף פעמים.

פונקציה כזו תהיה המועמדת שלנו להכללה של עצרת לממשיים.

חלק 5: פונקציית גמא

“פונקציית גמא” ($\Gamma$) (…של אוילר. איך לא?) מוגדרת בתור הפונקציה הבאה:

עבור $x > 0$ (שימו לב, גדול ממש, לא גדול-שווה):

$$ \Gamma (x) = \int_0^\infty \mathrm{e}^{-t} t^{x-1} \,\mathrm{d} t $$

שימו לב: נוצר פה כאילו עוד משתנה $t$ בנוסף ל-$x$, אבל $t$ הוא משתנה האינטגרציה.

כאן $x$ “מגיע מבחוץ” בתור הפרמטר של $\Gamma$, והוא “קבוע” בתוך האינטגרל. כלומר, עבור כל ערך של $x$, מחשבים אינטגרל כדי לקבל את $\Gamma$ בנקודה זו.

האם הפונקציה בכלל מוגדרת? עבור כל $x > 0$ “ספציפי”, צריך לבדוק שהאינטגרל “בסדר”:

ה-“בעיות” של האינטגרנד הן אך ורק בגבולות. ב-$t = 0$, האקספוננט נראה כמו 1 והגורם השני ידוע כאינטגרבילי; וב-‪$t = \infty$‬, האקספוננט דועך הרבה יותר מהר משהגורם השני גדל.

לכן האינטגרל “בסדר” והפונקציה לפחות… מוגדרת.

חלק 6: הוכחה שפונקציית גמא מכלילה את העצרת

כמה זה $\Gamma(1)$‬? כאשר מציבים $x = 1$, מקבלים:

$$ \Gamma(1) = \int_0^\infty \mathrm{e}^{-t} \,\mathrm{d}t $$

וזה יוצא 1 (תרגיל קל).

וכמה זה ‪$\Gamma(2)$‬? כאשר מציבים $x = 2$, מקבלים:

$$ \Gamma(2) = \int_0^\infty \mathrm{e}^{-t} t \,\mathrm{d}t $$

על ידי אינטגרציה בחלקים ($u=t, v'=\mathrm{e}^{-t} \rightarrow u'=1, v=-\mathrm{e}^{-t}$) מקבלים:

$$ \Gamma(2) = \left. -t \mathrm{e}^{-t} \right|_0^\infty + \int_0^\infty \mathrm{e}^{-t} \,\mathrm{d}t $$

ומכאן אפשר לחשב שוב בקלות ולקבל $\Gamma(2)=1$.

היי, השיטה הזו של אינטגרציה בחלקים עבדה טוב! האם אנחנו יכולים להמשיך אותה???

אכן!!!

יהי $n$ מספר טבעי. נחשב את $\Gamma(n+1)$:

$$ \Gamma(n+1) = \int_0^\infty \mathrm{e}^{-t} t^n \,\mathrm{d}t $$

על ידי אינטגרציה בחלקים ($u=t^n, v'=\mathrm{e}^{-t} \rightarrow u'=nt^{n-1}, v=-\mathrm{e}^{-t}$) מקבלים:

$$ \Gamma(n+1) = \left. -t^n \mathrm{e}^{-t} \right|_0^\infty + \int_0^\infty nt^{n-1} \mathrm{e}^{-t} \,\mathrm{d}t $$

המחובר הראשון מתאפס, והמחובר השני שוב נראה כמו פונקציית גמא (עם פקטור $n$)! כלומר, קיבלנו:

$$ \Gamma(n+1) = n \Gamma(n) $$

ולכן, יחד עם החישוב שלנו של $\Gamma(1)$, נוכל מיידית לקבל באינדוקציה: לכל $n \ge 1$ טבעי,

$$ \Gamma(n) = (n-1)! $$

ואכן, פונקציית גמא מכלילה את העצרת (בהזזה של 1)!

חלק 7: על קצה המזלג, למה פונקציית גמא היא הפונקציה הכי מוצלחת - משפט בוהר-מולרופ

(החלק הזה כולל כמה קללות מתחום תורת הפונקציות המרוכבות)

ההכללה של העצרת על ידי פונקציית גמא נראית כך:

במובנים של מה שאמרנו בחלק 4:

קודם כל, יש פה נוסחה אחידה, ולא נוסחה שונה לכל קטע.

דבר שני, פונקציית גמא היא אכן רציפה ואך גזירה אינסוף פעמים. ההוכחה לכך די קלה, אך חורגת ממה שרציתי לכלול בפוסט.

דבר שלישי, יותר מכך שפונקציית גמא היא גזירה אינסוף פעמים - היא גם אנליטית-ממשית. למעשה, היא ניתנת להמשכה אנליטית לכל המישור המרוכב פרט לקטבים פשוטים בשלמים האי-חיוביים, והיא לא מתאפסת, כך שההופכית שלה היא פונקציה שלמה.

אם כן, נוכל להכריז עליה כפונקציה המוצלחת ביותר אם היא היחידה שמכלילה את העצרת למשל באופן שניתן להמשכה מרומורפית למישור כולו.

למרבה הצער היא לא הפונקציה האנליטית היחידה שמכלילה את העצרת.

זה נובע מכך שיש פונקציות אנליטיות שמתאפסות בכל הטבעיים (למשל, סינוס, עם כופל מתאים בפרמטר) ואז, אם מוסיפים אותן לגמא, זה עדיין אנליטי ועדיין מכליל את העצרת.

לכן כדי לקבל יחידות, נצטרך להוסיף עוד דרישה. ואכן אפשר לקבל יחידות כזו:

משפט בוהר*-מולרופ (1922):
פונקציית גמא היא הפונקציה היחידה שמכלילה את העצרת והיא לוג-קמורה.

(*בוהר הוא לא בוהר הפיזיקאי הידוע. אבל הוא כן אח שלו.)

חלק 8: אז כמה זה שמינית עצרת???

אם עקבתם אז אתם יודעים ששמינית עצרת זה בעצם $\Gamma(1.125)$, וזה שווה בקירוב ל-0.9417426998497015.